Alfavita Newsroom Τα παρακάτω προβλήματα απασχόλησαν σχεδόν όλους τους γεωμέτρες της αρχαιότητας και έγιναν ευρέως γνωστά, όπως φαίνεται από την αναφορά τους, ήδη από τον 5ο αιώνα π.Χ. σε τουλάχιστον δύο θεατρικά έργα της εποχής. Ο Ευρυπίδης(485-407 π.Χ.) αναφέρει το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου και ο Αριστοφάνης(452-385 π.Χ.) το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου.
1. Ο τετραγωνισμός του κύκλου, να κατασκευαστεί με χάρακα και διαβήτη τετράγωνο εμβαδού ίσο με το εμβαδόν δοθέντος κύκλου.
2. Ο διπλασιασμός του κύβου, να κατασκευαστεί με χάρακα και διαβήτη κύβος όγκου διπλάσιου του όγκου δοθέντος κύβου.
3. Η τριχοτόμηση γωνίας, να χωριστεί με χάρακα και διαβήτη δοθείσα γωνία σε τρία ίσα μέρη.
Τι σημαίνει κατασκευή με χάρακα και διαβήτη;
Γεωμετρικά σημαίνει ότι στη λύση επιτρέπεται η χρήση μόνο ευθειών και κύκλων. Οι Αρχαίοι Έλληνες έλυσαν όλα τα παραπάνω προβλήματα χωρίς όμως τον περιορισμό η κατασκευή να γίνει με χάρακα και διαβήτη, δηλαδή εκτός από ευθείες και κύκλους στη λύση χρησιμοποίησαν και άλλες καμπύλες.
Από τότε που τέθηκαν τα παραπάνω προβλήματα πέρασαν περισσότερα από δύο χιλιάδες χρόνια ώσπου οι μαθηματικοί να καταφέρουν να αποδείξουν ότι τα προβλήματα αυτά δεν λύνονται μόνο με χάρακα και διαβήτη. Οι αποδείξεις στηρίχτηκαν στην ανάπτυξη της Αναλυτικής Γεωμετρίας και της Άλγεβρας. Συγκεκριμένα, η απόδειξη της αδυναμίας λύσης με χάρακα και διαβήτη του προβλήματος του τετραγωνισμού του κύκλου δόθηκε από τον Lindemann το 1882, του διπλασιασμού του κύβου από τον Mobius το 1829 και της τριχοτόμησης της γωνίας από τον Wantzel το 1837.
Ο τετραγωνισμός του κύκλου
Διατύπωση
Ζητείται από το πρόβλημα να κατασκευαστεί με τον κανόνα (χάρακα) και τον διαβήτη τετράγωνο που να έχει εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν ενός δοθέντος κύκλου.
Ιστορία του προβλήματος
Αρχικά, ο τετραγωνισμός του κύκλου είναι από τα αρχαιότερα γεωμετρικά προβλήματα. Πολλοί μαθηματικοί έχουν ασχοληθεί και έχουν αφιερώσει τις καριέρες τους στην προσπάθεια επίλυσής του, μέχρι το 1882, όπου ο μαθηματικός Φέρντιναντ Φον Λίντεμαν (Ferdinand von Lindemann) επαλήθεψε το αδύνατο της επίλυσης του προβλήματος.
Τα εμπόδια του προβλήματος συνίσταται σε δύο περιορισμούς που έθεσαν σε αυτό οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί.
Πιο συγκεκριμένα, για να λογιστεί αποδεκτή μία λύση του προβλήματος, σε αυτήν θα πρέπει:
α) να χρησιμοποιηθεί μόνο κανόνας και διαβήτης, προκειμένου η απόδειξη να ανάγεται πλήρως στα θεωρήματα του Ευκλείδη, και
β) να μην γίνεται μετά από άπειρο αριθμό βημάτων.
Αλγεβρικά…
Αλγεβρικά, το πρόβλημα ανάγεται στο πρόβλημα επίλυσης της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x2-π=0. Οι αρχαίοι, όμως, Έλληνες δεν είχαν ανακαλύψει τρόπο να κατασκευάζουν ευθύγραμμο τμήμα με μήκος π, τη σταθερά της παραπάνω εξίσωσης, μόνο με κανόνα (χάρακα) και διαβήτη. Ήδη, πριν τον 19ο αιώνα οι μαθηματικοί είχαν υποψιαστεί ότι ο π είναι υπερβατικός αριθμός. Με άλλα λόγια, είχαν υποψιαστεί ότι ο π δεν είναι λύση (ρίζα) αλγεβρικής εξίσωσης με ρητούς (αριθμούς που μπορούν να γραφτούν ως κλάσματα) συντελεστές. Τελικά, το 1883, ο Ferdinand von Lindemann έδειξε ότι ο π είναι υπερβατικός, βασισμένος στις ιδέες του μαθηματικού Hermite, ο οποίος απέδειξε το 1873 ότι ο e είναι υπερβατικός.
Οι Μαθηματικοί
Μερικοί Μαθηματικοί που ασχολήθηκαν με το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου είναι:
α) Ο Αναξαγόρας ο Κλαζομένιος ( 500- 428 π. Χ.)
β) Ο Ιπποκράτης ο Χίος (470- 400 π.Χ.)
γ) Ο Αντιφών ο Βρύσωνας (5ος αιώνας π.Χ.)
δ) Ο Δεινόστρατος (4ος αιώνας π.Χ.)
ε) Ο Αρχιμήδης (287-212 π.Χ.)
καθώς και πολλοί άλλοι…
Ο διπλασιασμός του κύβου
Διατύπωση
Ζητείται από το πρόβλημα να κατασκευαστεί με τον κανόνα (χάρακα) και τον διαβήτη το μήκος της πλευράς κύβου με όγκο διπλάσιο ενός άλλου κύβου με γνωστή πλευρά.
Ιστορία του προβλήματος
Το πρόβλημα ονομάζεται και Δήλιο Πρόβλημα επειδή οι κάτοικοι της Δήλου όταν είχε πέσει μια αρρώστια στο νησί, ζήτησαν από το Μαντείο των Δελφών, τι πρέπει να κάνουν για να «λύσουν» αυτή την υπόθεση. Το Μαντείο τους απάντησε ότι πρέπει να διπλασιάσουν σε όγκο το ιερό του Απόλλωνα στο νησί που είχε σχήμα κύβου. Οι Δήλιοι νόμισαν ότι διπλασιάζοντας την ακμή του κύβου θα διπλασιάσουν και τον όγκο. Όμως, διαπίστωσαν ότι αυτό οκταπλασιάζει τον όγκο του δοθέν κύβου. Τότε, ζήτησαν την γνώμη του Πλάτωνα και των μαθηματικών της Ακαδημίας του. Λέγεται, μάλιστα, ότι ο Πλάτωνας τους απάντησε ότι ο Απόλλωνας έδωσε αυτόν τον όρο επειδή οι άνθρωποι έχουν παραμερίσει την γεωμετρία και γενικά τα μαθηματικά και ότι ο θεός εννοούσε να σταματήσουν να πολεμούν και να ασχοληθούν με τις Επιστήμες. Ο Πλάτωνας παρέπεμψε τους Δήλιους στους μαθηματικούς Εύδοξο τον Κνίδιο και Ελίκωνα τον Κιζυκινό. Το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου είναι ουσιαστικά η κατασκευή ευθυγράμμου τμήματος της κυβικής ρίζας του 2. Στους νεότερους χρόνους αποδείχθηκε ότι είναι αδύνατη η λύση του με τον κανόνα και το διαβήτη.
Οι μαθηματικοί που ασχολήθηκαν…
Μερικοί Μαθηματικοί που ασχολήθηκαν με το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου είναι:
1) Ο Ιπποκράτης ο Χίος, ο οποίος συνέβαλε τα μέγιστα στην λύση όχι άμεσα, αλλά έμμεσα κατευθύνοντας τους επόμενους μαθηματικούς γιατί μετασκεύασε το πρόβλημα, στην εύρεση δύο μέσων αναλόγων σε δύο δοθέντα μεγέθη
2) Ο Αρχύτας
3) Ο Εύδοξος ο Κνίδιος
4) Ο Μέναιχμος
5) Ο Πλάτωνας
6) Ο Ερατοσθένης
7) Ο Νικομήδης
8) Ο Απολλώνιος από την Πέργη
9) Ο Διοκλής
καθώς και πολλοί άλλοι…
Όλοι όμως έδιναν λύση που εκμεταλλευόταν και άλλες μεθόδους πλην της κλασσικής.
Η τριχοτόμηση γωνίας
Το πρόβλημα της της τριχοτόμησης γωνίας ζητά να χωριστεί δοθείσα γωνία σε τρία ίσα μέρη. Και σε αυτό το πρόβλημα δόθηκαν πολλές λύσεις από διάφορους μαθηματικούς που χρησιμοποιούσαν πάντοτε και άλλες καμπύλες εκτός από ευθείες και και κύκλους.
Ο Ιππίας χρησιμοποίησε μια μη αλγεβρική καμπύλη την οποία χρησιμοποίησε και ο Δεινόστρατος για να λύσει το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου. Ο Αρχιμήδης έδωσε δύο λύσεις, η πρώτη χρησιμοποίησε μια τεταρτοβάθμια καμπύλη και η δεύτερη μια μη αλγεβρική καμπύλη, την επίπεδη έλικα. Ο Νικομήδης τριχοτόμησε την γωνία με την κογχοειδή καμπύλη με την οποία έλυσε και τον διπλασιασμό του κύκλου.
Όλες οι σημαντικές και έκτακτες ειδήσεις σήμερα
Σχολεία: Αλλάζουν οι ώρες αποχώρησης των μαθητών
Παν.Πατρών: Μοριοδοτούμενο σεμινάριο ΕΙΔΙΚΗ ΑΓΩΓΗΣ με μόνο 65Є εγγραφή - έως 24 Απριλίου
Μοριοδοτούμενο σεμινάριο Ειδικής Αγωγής (ΕΛΜΕΠΑ) με μόνο 50Є εγγραφή- αιτήσεις ως 24/4
2ος Πανελλήνιος Γραπτός Διαγωνισμός ΑΣΕΠ: Τα 2 μαθήματα εξέτασης και η ύλη
Proficiency και Lower μόνο 95 ευρώ σε 2 μόνο ημέρες στα χέρια σας (ΧΩΡΙΣ προφορικά, ΧΩΡΙΣ έκθεση!)
ΕΥΚΟΛΕΣ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ ΙΣΠΑΝΙΚΩΝ και ΙΤΑΛΙΚΩΝ για εκπαιδευτικούς - Πάρτε τις άμεσα
