Alfavita Newsroom Είναι πολλά τα παράδοξα που υπάρχουν στα μαθηματικά. Ωστόσο, μπορούν να εξηγηθούν, καθώς δεν πρόκειται για λάθη.
Η «Αντινομία του Ράσελ»
Ο Βρετανός φιλόσοφος Μπέρτραντ Ράσελ διατύπωσε ένα παράδοξο το 1901, που ονομάστηκε «Αντινομία του Ράσελ», καθώς περιγράφει δύο φαινομενικά αντικρουόμενες ιδέες. Σε αντίθεση με τα προηγούμενα δύο παράδοξα, η «Αντινομία του Ράσελ» δεν είναι απλώς κάτι που ξεγελά τη διαίσθησή μας. Αντιβαίνει στους κανόνες της λογικής αυτούς καθαυτούς. Η αντινομία παράγει δηλώσεις που δεν μπορεί να είναι ούτε αληθείς ούτε ψευδείς.Μια από τις πιο γνωστές παραλλαγές της είναι το «παράδοξο του κουρέα». Ας υποθέσουμε ότι ένας κουρέας ξυρίζει όλους τους άντρες στο χωριό του, που δεν ξυρίζονται μόνοι τους και μόνο αυτούς. Αραγε ο ίδιος ο κουρέας ξυρίζει τον εαυτό του; Αν το κάνει, τότε δεν ανήκει στην ομάδα των ανθρώπων που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Αλλά αν δεν ξυρίζει τον εαυτό του, τότε εξ ορισμού θα έπρεπε να τον ξυρίζει, αφού όλοι οι άντρες κάτοικοι που δεν ξυρίζονται μόνοι τους πηγαίνουν σ’ αυτόν.
Το παράδοξο βασίζεται σε ασαφή προσδιορισμό συνόλων. Την εποχή που ο Ράσελ παρουσίασε την αντινομία του, ένα σύνολο στα μαθηματικά αντιστοιχούσε σε μια συλλογή πραγμάτων. Οι φυσικοί αριθμοί, για παράδειγμα, σχηματίζουν ένα σύνολο, όπως και η ομάδα των αντρών κατοίκων που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Αυτός ο ορισμός, όμως, επιτρέπει στα σύνολα να περιέχουν τον εαυτό τους, ή να αναφέρονται στον εαυτό τους ως ενιαίο αντικείμενο και αυτές οι ιδιότητες οδηγούν σε αντιφάσεις. Η αντινομία του Ράσελ οδήγησε στο τέλος αυτού που οι μαθηματικοί αποκάλεσαν «απλοϊκή θεωρία συνόλων».
Τα θεμέλια των μαθηματικών συνεχίζουν να στηρίζονται στη θεωρία συνόλων. Αλλά τα σύνολα δεν είναι πια απλές συλλογές. Πρέπει να πληρούν συγκεκριμένες συνθήκες, όπως να συντίθενται από ήδη υπάρχοντα σύνολα και να μην αναφέρονται στον εαυτό τους. Αυτές οι συνθήκες αποκλείουν αντινομίες όπως το παράδοξο του κουρέα. Με πιο μαθηματική διατύπωση, οι άνθρωποι του χωριού που βγάζουν γένια και είναι άντρες σχηματίζουν ένα σύνολο Α. Αυτό το σύνολο περιλαμβάνει τους άντρες που ξυρίζονται μόνοι τους και εκείνους που πηγαίνουν στον κουρέα. Το σύνολο Β αποτελεί τους πελάτες του κουρέα. Για να σχηματιστεί ακολουθούνται οι κανόνες της μοντέρνας θεωρίας συνόλων: Αν ο κουρέας είναι άντρας με μούσι, δηλαδή μέλος του συνόλου Α, τότε το σύνολο των πελατών του δεν μπορεί να οριστεί ως «όλοι οι άντρες κάτοικοι που δεν ξυρίζονται μόνοι τους», καθώς σε αυτήν την περίπτωση ο ορισμός θα αναφερόταν στον εαυτό του, αφού τόσο ο κουρέας, όσο και οι πελάτες του θα ήταν μέλη του συνόλου Α. Η σύγχρονη θεωρία συνόλων απλώς δεν επιτρέπει έναν τέτοιο ορισμό. Αλλά αν ο κουρέας δεν είναι μέλος του συνόλου Μ, αν για παράδειγμα είναι γυναίκα, ή άντρας σπανός, τότε ο ορισμός επιτρέπεται.
Αν και όλα τα γνωστά μαθηματικά παράδοξα επιλύονται, δεν υπάρχει κάποια εγγύηση ότι δεν θα προκύψει ποτέ ένα άλυτο παράδοξο με βάση τους κανόνες των μαθηματικών. Ο Κουρτ Γκέντελ το απέδειξε ήδη από τη δεκαετία του 1930. Προς το παρόν ας παραμείνουμε με την ανακούφιση των εξηγήσεων για τα γνωστά παράδοξα.
