Alfavita Newsroom Το «Ξενοδοχείο του Χίλμπερτ»
Φανταστείτε ένα ξενοδοχείο με άπειρα δωμάτια, όλα κατειλημμένα. Αν και φαίνεται πως δεν υπάρχει διαθέσιμος χώρος, με μια έξυπνη αναδιάταξη, νέοι επισκέπτες μπορούν να φιλοξενηθούν. Αν όλοι οι υπάρχοντες ένοικοι μετακινηθούν στο επόμενο δωμάτιο, το δωμάτιο 1 αδειάζει και μπορεί να δεχτεί τον νέο επισκέπτη. Ακόμη κι αν φτάσουν άπειροι νέοι επισκέπτες, υπάρχει τρόπος να τους φιλοξενήσει το ξενοδοχείο: κάθε διαμένοντας μετακινείται σε δωμάτιο με αριθμό διπλάσιο από το αρχικό του, δημιουργώντας έτσι άπειρα κενά δωμάτια.
Το παράδοξο αυτό παρουσιάστηκε από τον Γερμανό μαθηματικό Ντέιβιντ Χίλμπερτ το 1925 για να δείξει πως οι έννοιες που ισχύουν στον πεπερασμένο κόσμο δεν μεταφέρονται πάντα στο άπειρο.
Το παράδοξο των γενεθλίων
Ένα φαινομενικά απίθανο γεγονός γίνεται πολύ πιο πιθανό όταν το εξετάσουμε από μαθηματική σκοπιά. Αν σε μια ομάδα 23 ατόμων συγκρίνουμε όλα τα πιθανά ζευγάρια, οι πιθανότητες να υπάρχουν δύο άτομα με την ίδια ημερομηνία γέννησης ξεπερνούν το 50%. Η εξήγηση βρίσκεται στον μεγάλο αριθμό πιθανών συνδυασμών μεταξύ των ατόμων, που αυξάνει δραματικά την πιθανότητα σύμπτωσης γενεθλίων.
Αυτό το παράδοξο έχει πρακτικές εφαρμογές, όπως στην κρυπτογραφία. Η λεγόμενη «επίθεση γενεθλίων» χρησιμοποιείται για να βρεθούν αδύναμα σημεία στις κρυπτογραφικές υπογραφές, εκμεταλλευόμενη τη μεγάλη πιθανότητα να προκύψουν δύο διαφορετικά δεδομένα με τον ίδιο κρυπτογραφικό κωδικό.
Η Αντινομία του Ράσελ
Ο Βρετανός φιλόσοφος και μαθηματικός Μπέρτραντ Ράσελ διατύπωσε το 1901 ένα λογικό παράδοξο που ανέτρεψε τη μαθηματική θεωρία συνόλων. Το διάσημο «παράδοξο του κουρέα» λέει ότι σε ένα χωριό υπάρχει ένας κουρέας που ξυρίζει όλους όσους δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Τι συμβαίνει, όμως, με τον ίδιο; Αν ξυρίζεται μόνος του, τότε δεν ανήκει στην ομάδα όσων εξυπηρετεί. Αν δεν ξυρίζεται μόνος του, τότε, σύμφωνα με τον ορισμό, θα έπρεπε να τον ξυρίζει ο… εαυτός του!
Αυτό το παράδοξο ανέδειξε ένα σοβαρό πρόβλημα στην παλιά θεωρία συνόλων, όπου επιτρεπόταν ένα σύνολο να περιλαμβάνει τον εαυτό του. Η ανακάλυψη αυτή οδήγησε στη διαμόρφωση της σύγχρονης μαθηματικής θεωρίας συνόλων, που αποφεύγει τέτοιου είδους αντιφάσεις.
Το μέλλον των παραδόξων
Παρόλο που τα μαθηματικά παράδοξα βρίσκουν συνήθως λύση, δεν υπάρχει καμία εγγύηση ότι κάποια στιγμή δεν θα εμφανιστεί ένα που θα παραμείνει άλυτο. Ο μαθηματικός Κουρτ Γκέντελ απέδειξε τη δεκαετία του 1930 ότι πάντα θα υπάρχουν προτάσεις στα μαθηματικά που δεν μπορούν να αποδειχθούν ούτε ως αληθείς ούτε ως ψευδείς. Ωστόσο, για την ώρα μπορούμε να απολαμβάνουμε τη γοητεία των υπαρχόντων παραδόξων και τη μαθηματική λογική πίσω από αυτά.
Όλες οι σημαντικές και έκτακτες ειδήσεις σήμερα
Γιατί η ώρα έχει 60 λεπτά: Η αρχαία απόφαση που «ρυθμίζει» ακόμη τη ζωή μας
Υπ. Παιδείας: Καταβολή αποζημίωσης σε εκπαιδευτικό μετά από 14 χρόνια. Ο λόγος
Σχολεία: Πέντε μέρες χωρίς μαθήματα μετά το Πάσχα - Το πρόγραμμα
