Πηγαίνοντας πέρα από το
τελευταίο θεώρημα του Fermat
Ινδός μαθηματικός έκανε μια εντυπωσιακή ανακάλυψη στη Θεωρία
Αριθμών
Τον προηγούμενο μήνα ο Ινδός μαθηματικός, Chandrashekhar Khare , έκανε μια
σημαντικότατη ανακάλυψη στην περιοχή της Θεωρίας Αριθμών με την επίλυση ενός
μέρους ενός από τα πιο σημαντικά προβλήματα στην Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών.
Με μία δημοσίευση του στο Mathematics Arxiv διαδίκτυο τον Απρίλη του 2005 και με
την αποστολή της εργασίας του σε σημαντικό μαθηματικό περιοδικό, 0 37χρόνος
μαθηματικό από το Πανεπιστήμιο της Γιούτα απέδειξε το λεγόμενο «πρώτο επίπεδο
της εικασίας του Serre» (" level-1 case of the Serre conjecture").
Σε μια προηγούμενη εργασία του μαζί με τον Γάλλο μαθηματικό J.P. Wintenberger,
το Δεκέμβρη του 2004 ο Khare περιέγραψε μια γενική στρατηγική αποτελούμενη από 2
μέρη για την πλήρη απόδειξη της εικασίας. Η παρούσα εργασία αποτελεί βήμα για
την πλήρη απόδειξη του πρώτου μέρους.
Σύμφωνα με τον καθηγητή Dipendra Prasad (Ινστιτούτο Tata στην Θεμελιώδη Έρευνα [
TIFR], Μουμπάι) το αποτέλεσμα είναι «ένα από τα πιο σημαντικά αποτελέσματα στην
πρόσφατη ιστορία της Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών», προσθέτοντας ότι πριν την
εργασία των Khare- Wintenberger «ήταν αβέβαιο για τους ειδικούς σε αυτή την
περιοχή ότι η εικασία θα γίνονταν θεώρημα σε σύντομα διάστημα». (Πριν
μετακινηθεί στην Γιούτα ο Khar ήταν στο TIFR για σχεδόν μια δεκαετία).
Θυμίζουμε ότι το τελευταίο θεώρημα του Fermat αποτέλεσε για αιώνες ένα από τα
πιο φημισμένα άλυτα προβλήματα των Μαθηματικών και είναι ειδική περίπτωση της
εικασίας του Serre. Το θεώρημα μας λέει ότι δεν υπάρχουν a, b, c μη-μηδενικοί
ρητοί αριθμοί που να ικανοποιούν την εξίσωση an + bn = cn για n > 2.
(Παρατηρήστε ότι για n= 2 έχουμε την γνωστή σχέση από το Πυθαγόρειο Θεώρημα και
επομένως άπειρες λύσεις). Το τελευταίο θεώρημα του Fermat αποδείχθηκε από τον A.
Wiles με την βοήθεια του R. Taylor το 1999. Η εικασία του Serre διατυπώθηκε στις
αρχές της δεκαετίας του '70 και σχετίζεται με την θεωρία των αναπαραστάσεων
Galois.
Ο Khare δήλωσε ότι «και ο Serre ήταν ενθουσιασμένος και χαρούμενος με την
απόδειξη» αν και είπε ότι είναι πολύ δύσκολο να προβλέψει πότε ακριβώς θα
αποδεχθεί ολόκληρη η εικασία. Σύμφωνα πάντως με τον Khare η απόδειξη θα δώσει
νέα ώθηση για το «πρόγραμμα Langlands», ενός από τα κεντρικά ζητήματα στην
σύγχρονη θεωρία αριθμών το οποίο μελετάει τη σχέση μεταξύ των συμμετριών στη
Θεωρία Αριθμών και στη Γεωμετρία.
Μάριος Μαγιολαδίτης
Σημ: Οι πληροφορίες προέρχονται κυρίως από την Ινδική εφημερίδα Hindu, 25 Απρίλη
2005
