Alfavita Newsroom ΤΙ ΕΝΝΟΟΥΜΕ ΟΤΑΝ ΛΕΜΕ ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Τι είναι τα Μαθηματικά;
Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη της ποσότητας και του χώρου. Επεκτείνοντας λιγάκι αυτό τον ορισμό, θα μπορούσε να προστεθεί ότι τα μαθηματικά ασχολούνται επίσης με το συμβολισμό που σχετίζεται με την ποσότητα και το χώρο.
ΟΛΟΙ ΕΙΜΑΣΤΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ
Σε κάποιο μικρό βαθμό ο καθένας είναι μαθηματικός και κάνει συνειδητά κάποιες μαθηματικές πράξεις. Για να ψωνίσει στην αγορά , για να μετρήσει μια ταπετσαρία ή για να διακοσμήσει ένα κεραμικό με ένα κανονικό σχήμα , κάνει μαθηματικές πράξεις. Επιπλέον, ο καθένας είναι σε ένα μικρό μέτρο φιλόσοφος των μαθηματικών. Ας αναφωνήσει όταν χρειάζεται: «οι αριθμοί δεν κάνουν λάθος!» και τότε μπαίνει στις τάξεις του Πλάτωνα και του Lakatos.
Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Όταν αρχίσαμε την άλγεβρα και την γεωμετρία στην Α’ Λυκείου πλέον ο καθηγητής μας Φραγκαναστάσης Τάσος μας είπε ότι ο θεός μετράει. Ότι όλο το σύμπαν εκφράζεται με τη γλώσσα των μαθηματικών.
Επίσης, μας είπε ότι τα μαθηματικά και μόνο αυτά χαρακτηρίζονται από κάτι που είναι γνωστό ως «α π ό δ ε ι ξ η»
Εντυπωσιαστήκαμε όμως όταν μας είπε ότι χωρίς απόδειξη δεν υπάρχουν Μαθηματικά και τότε τον ρωτήσαμε: «Κύριε τι είναι πραγματικά απόδειξη;» και αυτός μας απάντησε:
«Απόδειξη είναι ένα επιχείρημα που πείθει κάποιον που ξέρει το θέμα»
Μια μαθήτρια της τάξης τότε τον ρώτησε ΚΥΡΙΕ ΓΙΑΤΙ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ ΠΑΝΤΑ Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ;
Μας απάντησε ότι η απόδειξη χρειάζεται γιατί στα Μαθηματικά είναι εύκολο να καταλήξουμε σε λανθασμένο συμπέρασμα.
Μας είπε ότι είναι επικίνδυνο να συνάγει κανείς κάποιο γενικό συμπέρασμα βασιζόμενο σε μερικές ειδικές περιπτώσεις.
ΕΜΕΙΣ ΨΑΞΑΜΕ ΚΑΙ ΒΡΗΚΑΜΕ ΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Θεωρήστε έναν κύκλο, σημαδέψτε 2 σημεία στην περιφέρειά του και ενώστε τα με ευθεία γραμμή. Έτσι ο κύκλος χωρίζεται σε 2 περιοχές.
Σημειώστε τώρα 3 σημεία στην περιφέρεια του κύκλου και ενώστε κάθε σημείο με όλα τα άλλα με ευθείες γραμμές. Με αυτό τον τρόπο δημιουργούνται 4 περιοχές.
Αν κάνουμε το ίδιο πράγμα με 4 σημεία, θα δημιουργηθούν 8 περιοχές εντός του κύκλου.
Η δομή φαίνεται σαφής, έτσι δεν είναι; Ο αριθμός των περιοχών φαίνεται κάθε φορά που προσθέτουμε ένα επιπλέον σημείο. Επομένως υποπτευόμαστε ότι με n = 5 σημεία, θα εμφανιστούν 16 περιοχές.
Και όντως έτσι είναι :
Στο σημείο αυτό, ασφαλώς, συμπεραίνουμε με σχετικά μεγαλύτερη σιγουριά ότι στην περίπτωση των n=6 σημείων ο αριθμός των διαφορετικών περιοχών εντός του κύκλου θα είναι 32.
Και όμως, δεν είναι.
Όταν ο καθηγητής μας έκανε την απόδειξη κάποιου θεωρήματος στον πίνακα στο τέλος έγραφε 3 γράμματα ό.έ.δ. , δηλώνοντας την αλήθεια του θεωρήματος. Εμείς ψάξαμε και βρήκαμε ότι αυτά είναι το αρχαιοελληνικό «όπερ έδει δείξαι». Δηλαδή «αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί αποδείχθηκε». Από μία άποψη, ό.έ.δ. είναι συνώνυμο της αλήθειας και ομορφιάς στα Μαθηματικά.
Οι αποδείξεις πρέπει να είναι όσο το δυνατόν σύντομες, διαυγείς , κομψές και να προβάλλουν την ουσία του θέματος.
Θεώρημα : Ο αριθμός 2,333... είναι ρητός (Δηλαδή είναι κλάσμα 2 ακεραίων)
Απόδειξη : Έστω x=2,333… τότε
10x=23,333… άρα 10x-x=21 Άρα 9x=21 άρα x=21/9 άρα x=7/3
Άρα 2,333…=7/3 ο.ε.δ
Για ένα πιο εμβριθές παράδειγμα απόδειξης με τη μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής καταφεύγουμε στους πρώτους αριθμούς.
Πρώτος είναι ένας ακέραιος αριθμός, μεγαλύτερος του 1, ο οποίος διαιρείται μόνο με το 1 και τον εαυτό του. Έτσι, οι αριθμοί
2,3,5,7,11,13,17,19...
είναι όλοι πρώτοι αριθμοί, ενώ το 15 , για παράδειγμα, δεν είναι , δεδομένου ότι διαιρείται με το 3 και το 5.
Κάθε ακέραιος μεγαλύτερος του 1 είναι είτε πρώτος είτε γινόμενο πρώτων. Για παράδειγμα, ο αριθμός 17 είναι πρώτος, ενώ ο 18 μπορεί να γραφτεί ως 2x3x3. Με αυτή την έννοια, οι πρώτοι αριθμοί είναι οι << δομικοί λίθοι>> με τους οποίους άλλοι ακέραιοι δημιουργούνται μέσω του πολλαπλασιασμού.
Καθώς προχωράμε στον κατάλογο των ακεραίων οι πρώτοι εμφανίζονται αρκετά συχνά στην αρχή, αλλά λιγότερο συχνά αργότερα. Έτσι το 25% των αριθμών μεχρι το 100 είναι πρώτοι, ενώ το αντίστοιχο ποσοστό για τους αριθμούς μέχρι το 1.000.000 είναι μόνο το 7,9%.
Επομένως, μια προφανής ερώτηση που ανακύπτει είναι η εξής: Η λίστα των πρώτων αριθμών τελειώνει κάπου ή συνεχίζεται για πάντα;
Ο Ευκλείδης βρήκε την απάντηση: Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί.
Πώς όμως το απέδειξε;
Χρησιμοποίησε την εις άτοπον απαγωγή.
Ξεκίνησε υποθέτοντας ότι το πλήθος των πρώτων αριθμών είναι πεπερασμένο, και επομένως, θα υπάρχει κάποιος αριθμός που θα είναι μεγαλύτερος πρώτος, τον οποίον ας αποκαλέσουμε p. Η πλήρης λίστα των πρώτων αριθμών θα είναι τότε :
2,3,5,7,11,13....,p.
Μέχρι εδώ όλα καλά. Θα μπορούσατε να πείτε ότι όλα αυτά είναι απολύτως ξεκάθαρα. Το επόμενο βήμα όμως είναι μεγαλοφυές .
Η μεγαλοφυής ιδέα του Ευκλείδη ήταν να εξετάσει τον αριθμό
Ν=2x3x5x….xp+1,
δηλαδή τον αριθμό που προκύπτει πολλαπλασιάζοντας όλους τους πρώτους μεταξύ τους και προσθέτοντας 1.
Ο αριθμός αυτός είναι ασφαλώς μεγαλύτερος του p και, δεδομένου ότι ο p είναι ο μεγαλύτερος πρώτος, ο νέος αριθμός Ν δεν μπορεί να είναι πρώτος. Άρα, θα πρέπει να μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο πρώτων , δηλαδή θα πρέπει να διαιρείται με τουλάχιστον έναν πρώτο αριθμό.
Και όμως, δεν μπορεί: αν διαιρέσετε το Ν με οποιοδήποτε πρώτο αριθμό από την λίστα 2,3,5...,p θα λαμβάνεται πάντα υπόλοιπο 1.
Συνεπώς, καταλήξαμε σε αντίφαση και η μόνη διέξοδος είναι πως η αρχική υπόθεση είναι λάθος: το πλήθος των πρώτων αριθμών δεν γίνεται να είναι πεπερασμένο-θα πρέπει να είναι άπειρο.
Κλείνουμε την εργασία μας με μία υπόθεση που δεν έχει αποδειχθεί ακόμα. Την πολύ γνωστή υπόθεση του Γκόλντμπαχ :
κάθε άρτιος αριθμός μεγαλύτερος του 2 είναι άθροισμα 2 πρώτων αριθμών, όπως 12 = 5+7 ή 30 =23+7. Αν και αυτή η υπόθεση έχει επαληθευθεί μηχανικά σε εκατομμύρια περιπτώσεις, δεν μπορούμε να είμαστε σίγουροι – εκτός κι αν αποδείξουμε την υπόθεση – ότι ο επόμενος άρτιος αριθμός που θα ελέγξουμε δεν θα την παραβιάζει.
Προσπαθήστε να την αποδείξετε και αν το καταφέρετε θα έχετε μια περίοπτη θέση στο Πάνθεον των Μαθηματικών.
Βιβλιογραφία:
1. Hollingdale, S. (1989). Makers of Mathematics. Penguin.
2. Dunham, W. (1990), Journey through Genius: The great theorems of Mathematics. Wiley.
3. Wells, D. (1991/93). The penguin Dictionary of curious and interesting Geometry/Numbers. Penguin.
Η εκπόνηση της δημιουργικής εργασίας έγινε από τις μαθήτριες της Α’ Λυκείου του Γενικού Λυκείου Αιτωλικού
Όλες οι σημαντικές και έκτακτες ειδήσεις σήμερα
Παν.Πατρών: Μοριοδοτούμενο σεμινάριο ΕΙΔΙΚΗ ΑΓΩΓΗΣ με μόνο 65Є εγγραφή - έως 17 Απριλίου
Μοριοδοτούμενο σεμινάριο Ειδικής Αγωγής (ΕΛΜΕΠΑ) με μόνο 50Є εγγραφή- αιτήσεις ως 17/4
2ος Πανελλήνιος Γραπτός Διαγωνισμός ΑΣΕΠ: Τα 2 μαθήματα εξέτασης και η ύλη
Proficiency και Lower μόνο 95 ευρώ σε 2 μόνο ημέρες στα χέρια σας (ΧΩΡΙΣ προφορικά, ΧΩΡΙΣ έκθεση!)
ΕΥΚΟΛΕΣ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ ΙΣΠΑΝΙΚΩΝ και ΙΤΑΛΙΚΩΝ για εκπαιδευτικούς - Πάρτε τις άμεσα
