ΘΕΜΑ : «Διδακτικό υλικό Μαθηματικών Γ΄ Γυμνασίου»

Aγαπητοί συνάδελφοι,

Στην προσπάθεια για υποβοήθηση του διδακτικού σας έργου σας στέλνω μερικές πρώτες παρατηρήσεις, επισημάνσεις και συμπληρώσεις μου στα νέα σχολικά βιβλία και γενικά στο μάθημα των Μαθηματικών της Γ΄ Γυμνασίου, ελπίζοντας ότι θα βρείτε κάτι χρήσιμο για την διδασκαλία σας. Περιμένω και τις δικές σας παρατηρήσεις και προτάσεις, ώστε να δημιουργήσουμε ένα όσο το δυνατόν πλήρη κατάλογο ο οποίος αφενός θα υποστηρίζει το έργο σας, αφετέρου θα αποσταλεί στο Π. Ι. για μελλοντική βελτίωση των νέων βιβλίων.
Παρακαλώ ένα αντίγραφο του εγγράφου αυτού να τοποθετηθεί στον φάκελο «Διδακτικής Μαθηματικών». Το επόμενο διδακτικό υλικό θα αφορά σχέδια διδασκαλίας Γυμνασίου. Επειδή υπάρχουν γενικά καθυστερήσεις στην αποστολή των εγγράφων, καλό είναι να παρακολουθείτε την ηλεκτρονική αλληλογραφία (e-mails) του σχολείου και αν θέλετε να τα αναπαράγετε από εκεί, προτού έλθουν σε έγγραφη μορφή .

ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Γενικά

Τα νέα βιβλία της Γ΄ Γυμνασίου δίνουν βαρύτητα στις αποδείξεις (χωρίς να εγκαταλείπουν τον επαγωγικό τρόπο) και διαφέρουν σημαντικά στο σημείο αυτό από τα παλιά. Μάλιστα υπάρχουν και ασκήσεις επιπέδου Α΄ Λυκείου. Βέβαια αυτό πρέπει να το δούμε σαν μια δοκιμή (πείραμα), αν δηλαδή όλοι μαθητές μπορέσουν να πεισθούν και να κατανοήσουν τους λογικούς συλλογισμούς, έστω και αν κατά τον Piaget ο νέος βρίσκεται ήδη στο στάδιο των «τυπικών νοητικών πράξεων» και μπορεί να κάνει χρήση του παραγωγικού συλλογισμού. Ο νέος αυτής της ηλικίας εξακολουθεί μερικές φορές να είναι ακόμη προσκολλημένος στις αισθήσεις και να πείθεται από την αισθητή και εποπτική πραγματικότητα παρά από τους λογικούς συλλογισμούς.
Σε τμήματα με χαμηλή επίδοση ας μην είμαστε απαιτητικοί τουλάχιστον τώρα στην αρχή της χρονιάς, τονίζοντας όμως σε κάθε ευκαιρία την αναγκαιότητα της λογικής τεκμηρίωσης (απόδειξης) για την καθολική εγκυρότητα ενός ισχυρισμού. Σε κάθε περίπτωση οι αποδείξεις πρέπει να αποτελέσουν το μέσο να δουν οι μαθητές τα Μαθηματικά από μια άλλη πλευρά, την επιστημονική και προπάντων να νιώσουν την χαρά και την απόλαυση της τελεσίδικης ανθρώπινης διανοητικής κατάκτησης και κατοχύρωσης και όχι να γίνουν φόβητρο, και μάλιστα από την τάξη αυτή, με ολέθριες συνέπειες για την παραπέρα μάθηση.
Μην ξεχνούμε τέλος ότι στην Α΄ Λυκείου θα απλωθεί στους μαθητές διάπλατα το θεωρητικό-αποδεικτικό πεδίο τόσο στην Άλγεβρα όσο (και κυρίως) στην Γεωμετρία. Όσο αφορά την αρκετά ενδιαφέρουσα διαθεματική εργασία με θέμα «Η έννοια της απόδειξης» (βλ.σελ.31 βιβλίο εκπαιδευτικού) έχω κάποιες επιφυλάξεις για το αν είναι η κατάλληλη τάξη για να γίνει (μπορεί να επιλεγεί άλλη) αλλά η επιλογή της ή μη επαφίεται στην δική σας κρίση.


Α. ΑΛΓΕΒΡΑ

1. 1.1.Γ. Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού ( σελ.20).

Αρκετά ενδιαφέρον εδώ το πέρασμα (στο βιβλίο μαθητή) από την (ατελή) επαγωγική μέθοδο απόδειξης στην παραγωγική απόδειξη.

Αναφέρεται στο βιβλίο μαθητή: «Για να αποδείξουμε  την ισότητα  υπολογίζουμε το τετράγωνο κάθε μέλους της ξεχωριστά

,     .

Παρατηρούμε ότι οι δυο μη αρνητικοί αριθμοί ,  έχουν το ίδιο τετράγωνο αβ, οπότε είναι ίσοι, άρα ».

Έτσι όμως χρησιμοποιείται, χωρίς να λέγεται,  η πρόταση: αν  x, y ³0, νÎΝ*, με x² = y²  τότε   x = y, την οποία δεν γνωρίζουν οι μαθητές και την οποία βέβαια δεν μπορούμε εδώ να αποδείξουμε (δεν γνωρίζουν την ταυτότητα της διαφοράς τετραγώνων). Προτιμότερη είναι η εξής απόδειξη:

v       Επειδή , βλέπουμε ότι ο μη αρνητικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι ίσο με αβ είναι ο  .

     Άρα (ορισμός) .

2. 1.5 Αξιοσημείωτες ταυτότητες (σελ. 42)

Προβλέπονται 6 διδακτικές ώρες. Να μην διστάσετε, αν το κρίνετε σκόπιμο, να χρησιμοποιήσετε και 2-3 παραπάνω. Στην ενότητα 1.5 συγχρόνως με τον ορισμό της ταυτότητας να υπενθυμίσουμε και τον ορισμό της εξίσωσης.

ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

- Η ενότητα αυτή είναι θεμελιώδης για την παραπέρα εκμάθηση της Άλγεβρας και της Ανάλυσης και χρήζει ιδιαίτερης προσοχής από τον Καθηγητή. Να επισημάνουμε τον όρο «αξιοσημείωτες» στους μαθητές.

- Να δίνεται και η γεωμετρική τους απόδειξη (εποπτικοπαραγωγική απόδειξη) (ή η γεωμετρική τους σημασία), με χάρτινες κατασκευές.

- Οι ταυτότητες πρέπει να διατυπώνονται και να αναγνωρίζονται και λεκτικά από τους μαθητές.

- Να γράφονται και με κεφαλαία γράμματα για να υποδηλώνουμε έτσι ότι τα γράμματα μπορεί να είναι και ολόκληρες παραστάσεις , π.χ.
(Α + Β)(Α - Β) = Α2 – Β2 , Α = 3x2, Β = 3y-1

- Να αναφερθεί ότι εφαρμόζονται αμφίδρομα (από το πρώτο στο δεύτερο μέλος και αντίστροφα και να γραφούν έτσι στον πίνακα) ανάλογα με την ανάγκη που έχουμε.

- Να κάνουμε αναφορά στο συχνό λάθος (α + β)2 = α2 + β2 κλπ. (με συγκεκριμένους αριθμούς) που κάνουν κατ’ αναλογία του (αβ)ν = ανβν .

- Αξιοποίηση των βασικών αυτών ταυτοτήτων στην απόδειξη άλλων ταυτοτήτων (όχι στην τάξη αυτή ταυτότητες υπό συνθήκη). Οι αποδείξεις των ταυτοτήτων είναι αρκετό εδώ να γίνονται με την μέθοδο της «άμεσης απόδειξης» (και όχι της «ανάδρομης πορείας» (ισοδυναμιών)).

- Να αναλάβει ένας ή δυο μαθητές να γράψουν τις ταυτότητες σε ένα χαρτόνι με έγχρωμα γράμματα, το οποίο θα αναρτηθεί στην τάξη ώστε να είναι σε άμεση θέα τα επόμενα μαθήματα.

- Να μην εξετάζονται μαθητές στον πίνακα κατά την διάρκεια των μαθημάτων αυτών, αλλά να γίνεται τεστ 5 λεπτών σε κάθε μάθημα και μετά την επανάληψη της ενότητας και την λύση όλων των σχετικών ασκήσεων του βιβλίου (και ίσως και άλλων) να γίνει διαγώνισμα.

- Αν το διαγώνισμα είναι απορριπτικό κατά 25% τουλάχιστον, να γίνει δίωρη επανάληψη του κεφαλαίου και μετά να δοθεί εργασία στο σπίτι με μερικές επαναληπτικές ασκήσεις με ορισμένο χρονικό περιθώριο (π.χ. μια βδομάδα).

- Στα επόμενα μαθήματα του κεφαλαίου καλό είναι να δίνεται, εκτός των κανονικών ασκήσεων του τρέχοντος μαθήματος και μια άσκηση σχετική με τις ταυτότητες («αναδρομική επανάληψη»).

3. Πρόσθεση - αφαίρεση αλγεβρικών παραστάσεων (1.10.Β. σελ.78)

Πάρα πολύ χρήσιμο είναι εδώ να αναφερθεί και ο μνημονικός κανόνας (αυτοματισμός):

  («γινόμενα σταυρωτά»).

4. 2.1 Η εξίσωση αx+β = 0 (σελ.86).

Εδώ υπάρχει η λύση και η διερεύνηση της εξίσωσης αx+β = 0 (μάλλον χάριν της αρχής της πληρότητας και της σπειροειδούς ανάπτυξης της ύλης), αλλά προσοχή, να μην λυθούν εδώ παραμετρικές εξισώσεις. Στόχος μας οι μαθητές να μπορούν να λύνουν με ταχύτητα απλές κλασματικές και μη εξισώσεις, (όχι πολύπλοκες) και να επιλύουν τύπους κυρίως από τη Φυσική. Για το θέμα του μη μηδενισμού του παρανομαστή ενός κλάσματος, που τόση πολύ αναφορά γίνεται συχνά στην τάξη αυτή, επιβάλλεται να δικαιολογηθεί. Βλέπε σχετικά τις διδακτικές παρατηρήσεις Α΄ Γυμνασίου.

5. 2.2 Επίλυση εξίσωσης δευτέρου βαθμού - παραγοντοποίηση.

Να γίνει η απόδειξη του τύπου των ριζών μόνο αν πιστεύουμε ότι αυτή ανταποκρίνεται στην αντιληπτική δυνατότητα των μαθητών μας. Διαφορετικά να αναφερθεί απλά ο τύπος και να λυθούν ασκήσεις με βάση αυτόν.
Να μην ξεχνάμε ότι το τριώνυμο είναι θέμα της Α΄ Λυκείου, αλλά επειδή ορισμένα προβλήματα (και Φυσικής) οδηγούν σε γενικές εξισώσεις δευτέρου βαθμού έχει μπει ο τύπος των ριζών για συντόμευση των λύσεων.
Να μην δοθεί βαρύτητα στους τύπους της παραγοντοποίησης του τριωνύμου αλλά στην παραγοντοποίησή του με τις κλασικές μεθόδους.

6. 2.5.Β Aνισότητες

Να γίνει οπωσδήποτε η εφαρμογή 3 της σελίδας 114  και ως άσκηση η  με θ > 0. Ανάλογα με το επίπεδο της τάξης μπορεί να αξιοποιηθεί παραπέρα και η (σημαντική) παρατήρηση 1 (η οποία πρέπει να δικαιολογηθεί  πλήρως) «αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει α² + β² = 0 τότε α = 0 και β = 0» («άθροισμα μη αρνητικών ίσο με μηδέν»). Στην περίπτωση αυτή μπορούν να λυθούν εξισώσεις, όπως π.χ,

 (x - 1)² + (2y + 6)² = 0,   x² + 1 + (2y + 6)²  = 2x ,

(ίσως) (x - 1) ² +2(y² + 6y + 9) £ 0,  2(α + 3) ⁴ + β²+1 +γ²  = 2β, κλπ,  και μετά, να δοθεί η επαναληπτική άσκηση 16 (σελ.119).

2.5.Γ. Εισαγωγική δραστηριότητα για τις ανισώσεις: Ένας μαθητής διέθεσε λιγότερα από 13Î και αγόρασε τετράδια που το καθένα κοστίζει 2Î; Πόσα τετράδια αγόρασε; Πόσα το πολύ τετράδια μπορεί να αγοράσει;

Να επισημανθεί ότι η έννοια της ανίσωσης είναι αντίστοιχη της έννοιας της εξίσωσης, αλλά ότι συνήθως αληθεύει για άπειρες τιμές του αγνώστου της. Όμοια, αντίστοιχη της έννοιας της ταυτότητας είναι στις ανισότητες η έννοια της ανισοταυτότητας (μόνιμη ανισότητα) π.χ.

x²³ 0, 1 + x² > 0, xÎR κλπ.

Β. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ΄

Γενικά πρέπει να εξυψώσουμε την Γεωμετρία στα μάτια και στις ψυχές των μαθητών παίρνοντας αφορμή από τις θεωρητικές αποδείξεις. της ενότητας αυτής. Να έχουμε υπόψη ότι η γεωμετρική σκέψη υπερτερεί της αλγεβρικής στην ανάπτυξη Μαθηματικών και γενικά πνευματικών ικανοτήτων.

1. 1.1 Ισότητα τριγώνων

- Να δώσουμε περισσότερο βάρος, από άλλα χρόνια, στην ενότητα αυτή. (υπάρχουν σκέψεις, χωρίς να είναι τίποτα σίγουρο, αυτή η ενότητα να μην ξαναδιδαχθεί στην Α΄ Λυκείου στα μελλοντικά νέα βιβλία του Λυκείου)

- Ιδιαίτερο βάρος να δοθεί στην ενότητα αυτή στις αποδεικτικές ασκήσεις, αλλά πάντα στα πλαίσια των δυνατοτήτων των μαθητών.

- Επισήμανση-ορολογία: αντίστοιχες πλευρές, γωνίες….

- Είναι «ίσα τα τρίγωνα…», άρα έχουν τα (υπόλοιπα) αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα.

- Μεθοδολογικά: Με τα κριτήρια ισότητας τριγώνων «απελευθερωνόμαστε» από τα γεωμετρικά όργανα μοιρογνωμόνιο και χάρακα και εν μέρει από το διαφανές χαρτί. Η σύγκριση πια δυο τμημάτων ή δυο γωνιών ή δυο τριγώνων γίνεται πια θεωρητικά και χωρίς μετρήσεις (οι μετρήσεις παραμένουν για πρακτική χρήση) χρησιμοποιώντας τα κριτήρια ισότητας τριγώνων και επιλέγοντας κάθε φορά κατάλληλα τρίγωνα.

- Να γίνουν όλες οι (αξιοσημείωτες) εφαρμογές (ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου, μεσοκάθετης τμήματος, διχοτόμου γωνίας) του βιβλίου και να επιμείνουμε στο ότι οι μαθητές μπορούν να τις χρησιμοποιούν στην λύση ασκήσεων.

- Να δοθεί και φωτοτυπία με μερικές ακόμη π.χ 5- 6 ασκήσεις.

- Διδακτικά χρήσιμο είναι να κατασκευάσουμε (ή έστω να σχεδιάσουμε απλά στον πίνακα) και να επιδείξουμε στους μαθητές δυο χάρτινα τρίγωνα με δυο πλευρές ίσες και μια (όχι περιεχόμενη) γωνία ίση που δεν είναι ίσα: Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΓ έχουν γωνία Γ κοινή και ΑΒ = ΑΔ, ΑΓ=ΑΓ κλπ 

Όμοια χρήσιμη είναι και η κατασκευή δυο χάρτινων ορθογωνίων τριγώνων που έχουν μια κάθετη πλευρά ίση και μια (μη αντίστοιχη) οξεία γωνία ίση και είναι καταφανώς όχι ίσα (τα ορθ. τρίγωνα ΚΛΜ, ΗΘΜ, έχουν ΚΛ = ΘΜ και γωνία Μ κοινή).

2. Κίνητρο μάθησης (ή εφαρμογή), για την ιδιότητα της μεσοκάθετης ευθ. τμήματος:

Πρόβλημα
Οι κάτοικοι τριών χωριών Α, Κ, Μ θέλουν να φτιάξουν μια γεώτρηση σε μια αγροτική περιοχή αλλά διαφωνούν στο που θα γίνει, αφού θέλουν να απέχει ίση απόσταση από το κάθε χωριό. Μπορείτε να τους βοηθήσετε;
Για οποιαδήποτε ερώτηση ή παρατήρησή σας μπορείτε να επικοινωνήσετε μαζί μου.